期中复习

本指南基于 19-20、20-21、21-22 三套期中试卷及讲义归纳而成。它不是知识点大全，而是**一套战术解题手册**。

黄金备考法则¶

1. “SOP”优先： 90%的题目都是“标准件”，都有固定的解题流程(SOP)。背SOP比背公式更重要。

2. “源”在何处： 做题前先问：

   • 静电场： 场源是“自由电荷”(\(q, \lambda, \sigma, \rho\))。

   • 稳恒磁场： 场源是“传导电流”(\(I, J\))。

   • 电介质： 场源是“自由电荷”，但要考虑“束缚电荷”(\(\sigma'\))的影响。

   • 磁介质： 场源是“传导电流”，但要考虑“束缚电流”(\(j_m\))的影响。

3. 单位检查： 算完后检查单位。\(E\) 的单位是 \(\text{V/m}\) 或 \(\text{N/C}\)，\(B\) 的单位是 \(\text{T}\)，\(H\) 的单位是 \(\text{A/m}\)。

模块一：静电场 (E-Field & V-Field)¶

核心是高斯定理和电势的计算。

题型 1.1：求电场强度 \(E\)¶

题型 1.2：求电势 \(V\) 或 电势能 \(W_p\)¶

题型 1.3：带电粒子运动¶

模块二：导体、电容与电介质¶

核心是“导体 \(E_{in}=0\)” 和 “介质三步法”。

题型 2.1：导体静电平衡 (球壳、接地)¶

题型 2.2：电容器操作 (Q不变 vs V不变)¶

SOP：电容器操作分析 (19-20 T5, 20-21 T6)

1. 判断不变量：

   • “充电后**断开**电源” \(\implies\) \(Q\) 恒定不变。

   • “保持**电源连接**” \(\implies\) \(V\) 恒定不变。

2. 分析 \(C\) 的变化：

   • 插入 \(\epsilon_r\) 介质 \(\to C' = \epsilon_r C_0\) (电容**增大**)。

   • 插入厚 \(t\) 金属板 \(\to C' = \frac{\varepsilon_0 S}{d-t}\) (电容**增大**)。

   • 拉开距离 \(d\) \(\to C' = \frac{\varepsilon_0 S}{d'}\) (电容**减小**)。

3. 求解其他量：

Case 1: Q 恒定 (Q′=Q0​)	Case 2: V 恒定 (V′=V0​)
\(V' = Q_0 / C'\)	\(Q' = C' V_0\)
\(E' = V' / d'\)	\(E' = V_0 / d'\)
\(W' = Q_0^2 / (2C')\)	\(W' = \frac{1}{2} C' V_0^2\)

题型 2.3：万能三步法 (求 \(D, E, P, \sigma'\))¶

SOP：电介质问题 “D-E-P” 三步法

目标： 求解 \(\bm{D}\) (电位移), \(\bm{E}\) (电场强度), \(\bm{P}\) (极化强度), \(\sigma'\) (束缚电荷)

(适用于 19-20 T17, 20-21 Calc 2, 21-22 Calc 2 等所有介质问题)

1. Step 1: 求 \(\bm{D}\)

   • 方法： 用**介质高斯定理** (只看自由电荷 \(q_{free}\))。

   • 公式： \(\oiint_S \bm{D} \cdot \mathrm{d}\bm{S} = q_{free}\)

   • 应用：

     • 平行板：\(D \cdot A = \sigma_{free} \cdot A \implies D = \sigma_{free}\)

     • 圆柱/同轴电缆：\(D \cdot (2\pi r L) = \lambda_{free} \cdot L \implies D = \frac{\lambda_{free}}{2\pi r}\)

     • 球体：\(D \cdot (4\pi r^2) = q_{free} \implies D = \frac{q_{free}}{4\pi r^2}\)

2. Step 2: 求 \(\bm{E}\)

   • 方法： 用**本构方程** \(D = \varepsilon E\)。

   • 公式： \(E = D / \varepsilon = D / (\varepsilon_0 \varepsilon_r)\)。

3. Step 3: 求 \(\bm{P}\) 和 \(\sigma'\)

   • 求 \(P\)： \(P = \varepsilon_0 (\varepsilon_r - 1) E\) (用刚算出的 \(E\))。

   • 求 \(\sigma'\)： \(\sigma' = \bm{P} \cdot \bm{n}\) (\(\bm{n}\) 是**介质表面**的**外法线**)。

     • 通常 \(\sigma' = P\) (在 \(\bm{P}\) 垂直于介质表面时)。

     • 注意：在介质内表面(\(r=R_1\))，\(\bm{n}\) 指向中心，\(\bm{P}\) 指向外面，\(\sigma'_{R1} = \bm{P} \cdot \bm{n} = P \cos(180^\circ) = -P\)。

模块三：稳恒磁场 (B-Field)¶

核心是B-S定律和安培环路定理。

题型 3.1：求磁感应强度 \(B\)¶

题型 3.2：求磁力 \(F\) 和 磁力矩 \(M\)¶

模块四：磁介质¶

核心是 \(H\) 场和安培环路定理（介质版）。

SOP：磁介质问题 “H-B-M” 三步法

目标： 求解 \(\bm{H}\) (磁场强度), \(\bm{B}\) (磁感应强度), \(\bm{M}\) (磁化强度), \(j_m\) (束缚电流)

(适用于 19-20 T24, 20-21 Calc 4, 21-22 T15 等所有磁介质问题)

1. Step 1: 求 \(\bm{H}\)

   • 方法： 用**介质安培环路定理** (只看自由电流 \(I_{free}\))。

   • 公式： \(\oint_L \bm{H} \cdot \mathrm{d}\bm{l} = I_{free, in}\)

   • 应用：

     • 长螺线管：\(H \cdot L = nL \cdot I_{free} \implies H = n I_{free}\)

     • 螺绕环：\(H \cdot (2\pi r) = N I_{free} \implies H = \frac{N I_{free}}{2\pi r}\) (或 \(L\))

2. Step 2: 求 \(\bm{B}\)

   • 方法： 用**本构方程** \(B = \mu H\)。

   • 公式： \(B = \mu_0 \mu_r H\)。

3. Step 3: 求 \(\bm{M}\) (磁化强度) 和 \(j_m\)

   • 求 \(M\)： \(M = \chi_m H = (\mu_r - 1) H\) (用刚算出的 \(H\))。

   • 求 \(j_m\)： \(j_m = M\) (对于螺线管/螺绕环的表面束缚电流)。

(对比SOP 2.3，你会发现 D-E-P 和 H-B-M 的解题逻辑完全一致！)

模块五：电磁感应与磁能 (压轴)¶

核心是判断 \(\Phi_m\) 为什么变化。 \(\varepsilon = -\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}\)

题型 5.1：求感应电动势 \(\varepsilon\)¶

题型 5.2：求自感 \(L\) / 互感 \(M\) / 磁能 \(W_m\)¶