期末复习：电磁学

请按以下逻辑链条记忆，不要孤立背公式：

静电场： 电荷 \(q \xrightarrow{\text{高斯定理}}\) 电场 \(E \xrightarrow{\text{积分}}\) 电势 \(V \xrightarrow{C=Q/V}\) 电容 \(C \xrightarrow{\text{能量}}\) \(W_e\)
稳恒磁场： 电流 \(I \xrightarrow{\text{安培环路/毕奥萨伐尔}}\) 磁感应强度 \(B \xrightarrow{\text{左手定则}}\) 安培力/洛伦兹力 \(\xrightarrow{\text{力矩}}\) 磁力矩
电磁感应（桥梁）： 磁通量 \(\Phi_B\) 变化 \(\xrightarrow{\text{法拉第定律}}\) 感应电动势 \(\mathcal{E}\) \(\xrightarrow{\text{欧姆定律}}\) 感应电流

高斯定理 (必考计算/填空)
- 公式：\(\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{\sum q_{\text{in}}}{\varepsilon_0}\)
- 重点模型结论（直接背诵）：
  - 均匀带电球面/球壳 (半径 \(R\))：
    - 内 (\(r < R\)): \(E=0\)
    - 外 (\(r > R\)): \(E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\) (看作球心点电荷)
  - 无限长均匀带电圆柱面/线 (电荷线密度 \(\lambda\))：
    - 外: \(E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}\)
  - 无限大均匀带电平板 (电荷面密度 \(\sigma\))：
    - 两侧: \(E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\) (注意：若是导体表面则是 \(\sigma/\varepsilon_0\))
电势与电场的关系
- 定义：\(V_P = \int_P^\infty \vec{E} \cdot d\vec{l}\) （通常选无穷远为0势点）
- 技巧： 导体处于静电平衡时是等势体。求导体球电势时，记得加上球外其他电荷在球心产生的电势（电势叠加原理）。
电容与能量
- 平行板电容：\(C = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_r S}{d}\)
- 圆柱形电容：\(C = \frac{2\pi\varepsilon_0 l}{\ln(R_2/R_1)}\) (考过计算题)
- 能量密度：\(w_e = \frac{1}{2}\varepsilon E^2\) (重要！)

毕奥-萨伐尔定律 (Biot-Savart Law)
- 用于计算特殊形状电流的磁场。
- 重点结论：
  - 无限长直导线：\(B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}\)
  - 圆电流中心：\(B = \frac{\mu_0 I}{2R}\)
  - 圆电流轴线上：\(B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2+x^2)^{3/2}}\)
安培环路定理
- 公式：\(\oint_L \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \sum I_{\text{in}}\)
- 应用：无限长螺线管内部 \(B = \mu_0 n I\) (\(n\)为单位长度匝数)。
磁场对电流的作用
- 安培力： \(d\vec{F} = I d\vec{l} \times \vec{B}\) (注意方向：右手螺旋/左手定则)
- 洛伦兹力： \(\vec{F} = q\vec{v} \times \vec{B}\) (不做功，只改变方向)
  - 圆周运动半径：\(R = \frac{mv}{qB}\)，周期 \(T = \frac{2\pi m}{qB}\)
- 霍尔效应 (Hall Effect - 历年高频填空)：
  - 霍尔电压：\(V_H = \frac{IB}{nqd}\) (\(d\)为厚度，\(n\)为载流子浓度)。
  - 考点： 判断高电势面（利用洛伦兹力判断载流子堆积方向，注意电子带负电！）。

法拉第电磁感应定律
- \(\mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt} = -\frac{d}{dt}(\int \vec{B} \cdot d\vec{S})\)
- 解题步骤：
  1. 找回路。
  2. 计算磁通量 \(\Phi = B \cdot S\) (如果 \(B\) 不均匀，需积分 \(\int B(x) dA\))。
  3. 求导得电动势大小。
  4. **楞次定律**判断方向（“增反减同”）。
动生电动势
- \(\mathcal{E} = \int (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l}\)
- 直导线切割： \(\mathcal{E} = BLv\)
- 转动导线 (棒长L, 角速度\omega)： \(\mathcal{E} = \frac{1}{2} B L^2 \omega\) (非常高频！)
感生电场 (涡旋电场)
- \(\oint \vec{E}_k \cdot d\vec{l} = -\frac{d\Phi}{dt}\)
- 圆柱形磁场区域内/外的涡旋电场分布（类似安培环路定理求解）。
自感与互感
- 自感系数：\(L = \frac{N\Phi}{I}\)
- 磁能密度：\(w_m = \frac{B^2}{2\mu_0}\)

位移电流 (Displacement Current - 必考填空)
- 公式：\(I_d = \varepsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}\)
- 考点： \(I_d\) 的方向与 \(\frac{d\vec{E}}{dt}\) 方向一致。若电容器充电（\(E\) 增加），\(I_d\) 与传导电流 \(I\) 同向。
电磁波： \(E\) 和 \(B\) 同相位，\(\vec{E} \times \vec{B}\) 沿传播方向。\(E = cB\)。

霍尔效应的正负电荷陷阱： 如果载流子是电子，洛伦兹力向上，电子聚集在上板，上板电势**低**。如果是空穴（正电荷），上板电势**高**。题目常考金属（电子）或半导体。
导线转动的电动势： 很多同学直接用 \(BLv\)，但速度是变化的。必须积分或者直接背 \(\frac{1}{2}BL^2\omega\)。
磁介质与电介质： 注意 \(\varepsilon_r\) (相对介电常数) 和 \(\mu_r\) (相对磁导率) 的位置。
- 电场中插入介质，\(E\) 减小，\(E = E_0 / \varepsilon_r\)。
- 磁场中插入铁磁质，\(B\) 剧烈增大。
互感方向： 两个线圈，电流方向改变会影响互感电动势的正负，注意题目中的绕向图示。