期末复习：量子物理

模块三：近代物理复习指南 (Modern Physics)¶

1. 光的粒子性 (Particle Nature of Light)¶

A. 光电效应 (Photoelectric Effect) - 必考计算/填空 * 爱因斯坦方程（核心）： $$h\nu = W + E_{k,\max}$$ $$h\frac{c}{\lambda} = W + eU_a$$ * $h\nu$: 入射光子能量。 * $W$: 逸出功 (Work Function)，金属固有属性。 * $E_{k,\max}$: 光电子最大初动能。 * $U_a$: 遏止电压 (Stopping Potential)，测动能用的。 * 红限（截止频率/波长）： * 当 $E_k = 0$ 时，光子能量刚好够逸出。 * $\nu_0 = W/h$ 或 $\lambda_0 = hc/W$。 * 单位陷阱： 题目常给 $W$ 单位为 eV (电子伏特)，计算时需换算：$1 \text{ eV} = 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}$。公式中 $h$ 和 $c$ 是标准单位，算出的能量是焦耳 (J)。

B. 康普顿效应 (Compton Effect) * 定义： X射线撞击自由电子，波长变**长**（能量变小，损失的能量给了电子）。 * 公式（波长偏移）： $$\Delta \lambda = \lambda' - \lambda_0 = \frac{h}{m_0 c} (1 - \cos \theta)$$ * $\lambda_C = \frac{h}{m_0 c} = 0.00243 \text{ nm}$ (康普顿波长，试卷常数表通常会给，或者记一下)。 * $\theta$: 散射角（光线偏转的角度）。 * 考点： * $\theta = 90^\circ$ 时，$\Delta \lambda = \lambda_C$。 * $\theta = 180^\circ$ 时，$\Delta \lambda = 2\lambda_C$ (红移最大)。 * 注意： 只有**散射光**波长变长，反冲电子获得动能。

C. 黑体辐射 (Blackbody Radiation) * 斯特藩-玻尔兹曼定律： $M(T) = \sigma T^4$ (总辐出度与温度四次方成正比)。 * 维恩位移定律： $\lambda_m T = b$ (温度越高，辐射最强的波长越短/颜色越蓝)。

2. 物质的波粒二象性 (Wave-Particle Duality)¶

A. 德布罗意波 (De Broglie Wave) * 公式： $$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$$ * $p$: 动量。 * 关联动能： 若给出粒子动能 $E_k$，记得 $E_k = \frac{p^2}{2m} \Rightarrow p = \sqrt{2mE_k}$。 * 公式变形：$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE_k}}$。 * 若粒子带电被电压 $U$ 加速：$E_k = qU$，则 $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqU}}$。

B. 不确定性关系 (Heisenberg Uncertainty Principle) * 位置与动量： $\Delta x \cdot \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2}$ (或 $\frac{h}{4\pi}$，注意看题目选项给的常数是 $h$ 还是 $\hbar$)。 * 能量与时间： $\Delta E \cdot \Delta t \ge \frac{\hbar}{2}$ (常考原子能级寿命与谱线宽度的关系)。

3. 量子力学基础 (Quantum Mechanics)¶

A. 波函数与一维无限深势阱 (Infinite Potential Well) - 计算题常客 * 模型： 粒子限制在 $0 < x < a$ 范围内运动。 * 波函数 (必背)： $$\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\left( \frac{n\pi x}{a} \right)$$ * 归一化系数 $A = \sqrt{\frac{2}{a}}$。 * 能量本征值 (必背)： $$E_n = n^2 \frac{h^2}{8ma^2} \quad (n=1, 2, 3...)$$ * 重要结论： 能量是量子化的，与 $n^2$ 成正比。$E_2 = 4E_1, E_3 = 9E_1$。 * 概率计算： * 粒子在 $x_1$ 到 $x_2$ 出现的概率：$P = \int_{x_1}^{x_2} |\psi(x)|^2 dx$。 * 考题常考 $\int \sin^2$ 的积分，记得 $\sin^2\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}$。

B. 氢原子与玻尔模型 (Bohr Model) * 能级公式： $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$。 * 跃迁公式： $h\nu = \frac{hc}{\lambda} = E_m - E_n$ (从高能级 $m$ 跳到低能级 $n$)。 * 莱曼系 (Lyman): 跃迁回 $n=1$ (紫外线)。 * 巴耳末系 (Balmer): 跃迁回 $n=2$ (可见光)。 * 帕邢系 (Paschen): 跃迁回 $n=3$ (红外线)。 * 里德伯公式： $\frac{1}{\lambda} = R (\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2})$。

C. 四个量子数 (Quantum Numbers) - 填空题高频 1. 主量子数 $n$: 决定能量层 ($1, 2, 3...$)。 2. 角量子数 $l$: 决定轨道形状，取值 $0, 1, \dots, n-1$。 * $l=0 (s), l=1 (p), l=2 (d)$。 * 轨道角动量 $L = \sqrt{l(l+1)}\hbar$。 3. 磁量子数 $m_l$: 决定轨道空间取向，取值 $0, \pm 1, \dots, \pm l$。 * 角动量在 z 轴投影 $L_z = m_l \hbar$。 4. 自旋磁量子数 $m_s$: 电子自旋，取值 $\pm 1/2$。 * 泡利不相容原理： 同一原子中没有两个电子四个量子数完全相同。

4. 后天期末考通关策略 (Final Strategy)¶

背诵优先级 (Priorities)：
- T0 (必考公式，背不下来别去考试):
  - 电磁感应 $\mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt}$ 和 $\frac{1}{2}BL^2\omega$。
  - 光栅方程 $(a+b)\sin\theta = k\lambda$。
  - 单缝衍射暗纹 $a\sin\theta = k\lambda$。
  - 光电效应 $hc/\lambda = W + E_k$。
  - 势阱波函数 $\psi = \sqrt{2/a}\sin(n\pi x/a)$ 和能量 $E_n \propto n^2$。
- T1 (高频模型，理解记忆):
  - 高斯定理球/柱/面分布结果。
  - 杨氏双缝与薄膜干涉。
  - 马吕斯定律与布儒斯特定律。
  - 康普顿波长偏移公式。
做题技巧 (Tips):
- 常数表： 试卷第一页通常会给 $h, e, c, m_e$ 等常数。不要死记数值，但要熟悉它们的符号。
- 单位换算： 只要看到 eV，立刻 $\times 1.6 \times 10^{-19}$ 换成 J 再代入公式计算。
- 角度陷阱： 光学里的 $\theta$ 通常是**衍射角**（与法线/中心线的夹角）；马吕斯定律里的 $\alpha$ 是**夹角**。不要搞混 $\sin$ 和 $\cos$。
- 计算： 大学物理计算题步骤分很重要。先写公式（字母表达式），再代入数据，最后写结果和单位。如果结果算错，公式对能拿大半的分。
最后 24 小时怎么做？
- 拿出这份指南，遮住右边的公式，看左边的名词能不能默写出公式。
- 挑历年卷里的 “计算题” 也就是大题，只看题干，自己在纸上列出第一步解题方程，然后去对答案。不需要算出最终数字，主要训练**“看到题就知道用什么公式”**的条件反射。