《大学物理乙2》期中核心考点与速成指南¶
本指南的唯一目的：帮助你在最短时间内识别题目类型，并套用最正确的公式和方法来解决它们。
Part 1: 静电场 (Electrostatics)¶
静电场是所有后续内容的基础，核心是高斯定理和电势。
1. 核心公式 (必须背诵)¶
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高斯定理 (求 \(E\) 的第一利器):
$\(\oiint_S \bm{E} \cdot \mathrm{d}\bm{S} = \frac{\sum q_{in}}{\varepsilon_0}\)$ 2. 电势的定义 (求 \(U\)):
$\(U_a - U_b = \int_a^b \bm{E} \cdot \mathrm{d}\bm{l}\)$ 3. 电势的叠加 (求 \(U\)):
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点电荷：\(U = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}\)
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连续体：\(U = \int \mathrm{d}U = \int \frac{\mathrm{d}q}{4\pi\varepsilon_0 r}\) (标量积分，比 \(E\) 简单)
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电场与电势的关系 ( \(U\) 求 \(E\) ):
$\(\bm{E} = -\nabla U = -(\frac{\partial U}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial U}{\partial y}\vec{j} + \frac{\partial U}{\partial z}\vec{k})\)$ 5. 电场力做功 / 能量守恒 (粒子运动):
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\(W_{ab} = q(U_a - U_b)\)
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\(W_{ab} = \Delta E_k = \frac{1}{2}mv_b^2 - \frac{1}{2}mv_a^2\)
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能量守恒：\(qU_a + \frac{1}{2}mv_a^2 = qU_b + \frac{1}{2}mv_b^2\)
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2. 核心题型与做题方法¶
题型一：求电场强度 (Find \(E\))¶
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识别： 题目要求计算 \(E\)。
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方法：
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看对称性： 题目是否为“无限长...”、“无限大...”、“均匀带电球/壳”？
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是 \(\to\) 立即使用【高斯定理】(方法 1)。
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做题步骤：a. 画高斯面； b. \(\oiint E \cdot dS = E \cdot S_{侧}\)； c. \(\sum q_{in} = \lambda l\) 或 \(\sigma S\) 或 \(\rho V\)； d. 两边相等，解出 \(E\)。
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(考题范例：填空题中求无限长直线、无限大平面的 \(E\))
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看是否给定 \(U(x,y,z)\)： 题目是否给了 \(U = ax^2 + bxy...\) 这样的函数？
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是 \(\to\) 立即使用【\(E = -\nabla U\)】(方法 4)。
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做题步骤：分别求 \(U\) 对 \(x, y, z\) 的偏导数，前面加个负号。
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(考题范例：21-22 期中卷 填空题 3)
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看是否为标准形状 (电荷杆、圆环)：
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是 \(\to\) 立即使用【微元法 \(\int dE\)】。
- 做题步骤：a. 取微元 \(\mathrm{d}q\)； b. 写出 \(\mathrm{d}E = \frac{\mathrm{d}q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\)； c. 分解 \(\mathrm{d}E\) (对称性抵消)； d. 积分。
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题型二：求电势 (Find \(U\))¶
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识别： 题目要求计算 \(U\) 或电势差。
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方法：
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看是否为点电荷/导体球/壳：
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是 \(\to\) 立即使用【电势叠加】(方法 3)。
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做题步骤：\(U = \sum \frac{q_i}{4\pi\varepsilon_0 r_i}\) (标量相加，注意正负号)。
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(考题范例：21-22 期中卷 填空题 1，求立方体顶点的电势)
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看是否为连续体 (电荷杆、圆环)：
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是 \(\to\) 立即使用【微元法 \(\int dU\)】(方法 3)。
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做题步骤：a. 取微元 \(\mathrm{d}q\)； b. \(dU = \frac{\mathrm{d}q}{4\pi\varepsilon_0 r}\)； c. 积分 \(U = \int dU\) (不需要分解，是标量)。
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(考题范例：21-22 期中卷 计算题 1.1)
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看是否已知 \(E\) 且求电势差：
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是 \(\to\) 立即使用【电势定义】(方法 2)。
- 做题步骤：\(U_a - U_b = \int_a^b E \cdot dl\)。
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题型三：带电粒子运动 (Particle Motion)¶
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识别： 题目给了 \(q, m\)，问速度 \(v\)、动能 \(E_k\) 或电场力做功 \(W\)。
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方法：
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立即使用【能量守恒】(方法 5)。
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做题步骤：\(qU_a + \frac{1}{2}mv_a^2 = qU_b + \frac{1}{2}mv_b^2\)。
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(考题范例：21-22 期中卷 填空题 2, 计算题 1.2)
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Part 2: 导体、电介质与电容¶
这部分的核心是“屏蔽”和“极化”，以及一个通用的三步解题法。
1. 核心公式 (必须背诵)¶
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静电平衡导体 (重要特性):
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内部 \(E_{in} = 0\)。
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表面 \(E = \sigma / \varepsilon_0\) (表面法向)。
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电容： \(C = Q/U\)。
- 平行板电容：\(C = \frac{\varepsilon_0 S}{d}\)。
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电场能量：
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总能量：\(W = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{Q^2}{2C}\)。
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能量密度：\(w_e = \frac{1}{2}\varepsilon E^2 = \frac{1}{2}\bm{D} \cdot \bm{E}\)。
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电介质 (核心关系):
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电位移矢量：\(\bm{D} = \varepsilon_0 \varepsilon_r \bm{E} = \varepsilon \bm{E}\)。
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电极化强度：\(\bm{P} = \varepsilon_0(\varepsilon_r - 1)\bm{E}\)。
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高斯定理 (介质版 - 求 \(D\) 的利器):
$\(\oiint_S \bm{D} \cdot \mathrm{d}\bm{S} = \sum q_{free}\)$ 6. 束缚电荷 (极化电荷):
- \(\sigma' = \bm{P} \cdot \bm{n}\) (\(\bm{n}\) 是介质表面的外法线)。
2. 核心题型与做题方法¶
题型一：导体空腔/接地 (Conductor Cavity)¶
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识别： 题目有“导体球壳”、“空腔”、“接地”等字样。
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方法：
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利用 \(E_{in} = 0\)。
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做题步骤：
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在导体**内部**画一个高斯面。
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因为 \(E_{in} = 0\)，所以 \(\Phi_E = 0\)。
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根据高斯定理，高斯面内总电荷 \(\sum q_{in} = 0\)。
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\(\sum q_{in} = q_{腔内} + q_{内壁} = 0 \implies q_{内壁} = -q_{腔内}\)。
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利用电荷守恒 \(q_{总} = q_{内壁} + q_{外壁}\)，求出 \(q_{外壁}\)。
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(考题范例：21-22 期中卷 填空题 4)
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题型二：电容与能量 (Capacitance & Energy)¶
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识别： 题目涉及电容器、求电容 \(C\)、能量 \(W\)、能量密度 \(w_e\)。
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方法：
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求 \(C\)：如果是平行板，套公式 \(C = \frac{\varepsilon_0 S}{d}\)。(考题范例：填空题 5)
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求 \(W\) 或 \(w_e\)：
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a. 先求 \(E\) (通常 \(E=V/d\))。
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b. 再求 \(w_e = \frac{1}{2}\varepsilon E^2\)。
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c. 最后求 \(W = w_e \times \text{Volume}\)。
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(考题范例：21-22 期中卷 填空题 8)
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题型三：含电介质的计算 (Dielectrics)¶
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识别： 题目中有 \(\varepsilon_r\) 或 \(\varepsilon\) (介电常数)，要求 \(E, D, P, \sigma'\)。
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方法：【万能三步法】
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用 \(\bm{D}\) 的高斯定理 (方法 5) 求 \(\bm{D}\)。
- (画高斯面，\(\oiint D \cdot dS = D \cdot S_{侧}\)，只看自由电荷 \(q_{free}\))。
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用 \(\bm{D} = \varepsilon \bm{E}\) 求 \(\bm{E}\)。
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用 \(\bm{E}\) 求其他量。
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求电势差：\(U = \int E \cdot dl\)。
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求极化强度：\(\bm{P} = \varepsilon_0(\varepsilon_r - 1)\bm{E}\)。
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求束缚电荷：\(\sigma' = \bm{P} \cdot \bm{n}\)。
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(考题范例：21-22 期中卷 计算题 2，填空题 6, 7)
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Part 3: 稳恒磁场 (Magnetostatics)¶
核心是毕奥-萨伐尔定律和安培环路定理。
1. 核心公式 (必须背诵)¶
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毕奥-萨伐尔定律 (求 \(B\) 的第一利器):
$\(\mathrm{d}\bm{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I \mathrm{d}\bm{l} \times \hat{\bm{r}}}{r^2}\)$ 2. B-S 常用结论 (必须背熟)：
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无限长直导线：\(B = \frac{\mu_0 I}{2\pi a}\)
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圆形电流中心：\(B = \frac{\mu_0 I}{2R}\)
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(半无限长导线端点：\(B = \frac{\mu_0 I}{4\pi a}\))
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(圆弧在圆心：\(B = \frac{\mu_0 I}{2R} \cdot \frac{\theta}{2\pi}\))
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安培环路定理 (求 \(B\) 的第二利器):
$\(\oint_L \bm{B} \cdot \mathrm{d}\bm{l} = \mu_0 \sum I_{in}\)$ 4. 洛伦兹力 (粒子运动):
$\(\bm{F} = q(\bm{v} \times \bm{B})\)$ 5. 安培力 (导线受力):
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\(\mathrm{d}\bm{F} = I \mathrm{d}\bm{l} \times \bm{B}\)
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(匀强 \(B\) 中)：\(\bm{F} = I (\bm{L} \times \bm{B})\)
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磁矩与磁力矩 (线圈转动):
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磁矩：\(\bm{p}_m = I S \hat{\bm{n}}\) ( \(N\) 匝再 \(\times N\))
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磁力矩：\(\bm{M} = \bm{p}_m \times \bm{B}\)
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磁通量 (为感应电服务):
\[\Phi_m = \iint_S \bm{B} \cdot \mathrm{d}\bm{S}\]
2. 核心题型与做题方法¶
题型一：求磁感应强度 (Find \(B\))¶
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识别： 题目要求计算 \(B\)。
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方法：
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看对称性： 题目是否为“无限长直导线”、“长直螺线管”、“螺绕环”？
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是 \(\to\) 立即使用【安培环路定理】(方法 3)。
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做题步骤：a. 画安培环路 \(L\)； b. \(\oint B \cdot dl = B \cdot (2\pi r)\)； c. \(\sum I_{in} = I\) (或 \(NI\))； d. 两边相等，解出 \(B\)。
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(考题范例：填空题 11, 15)
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看是否为标准形状 (直导线、圆环、圆弧)：
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是 \(\to\) 立即使用【B-S 常用结论】(方法 2)。
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做题步骤：直接套公式。如果是组合形状，就用**叠加原理** (矢量相加)。
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(考题范例：填空题 10, 13, 计算题 3)
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看是否为运动电荷：
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是 \(\to\) 立即使用【等效电流】。
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做题步骤：a. 求等效电流 \(I = q/T = qv/(2\pi R)\)； b. 把 \(I\) 代入标准结论 (如圆电流中心 \(B = \mu_0 I / 2R\))。
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(考题范例：填空题 13, 计算题 3)
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题型二：求磁场力 / 力矩 (Find Force / Torque)¶
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识别： 题目要求计算 \(\bm{F}\) 或 \(\bm{M}\)。
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方法：
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看受力体：
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单个粒子 \(\to\) 【洛伦兹力】(方法 4)。
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做题步骤：\(\bm{F} = q(\bm{v} \times \bm{B})\) (注意叉乘顺序和 \(q\) 的正负)。
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(考题范例：填空题 14)
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直导线/弯曲导线 \(\to\) 【安培力】(方法 5)。
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做题步骤：\(\bm{F} = I (\bm{L} \times \bm{B})\) (\(\bm{L}\) 是从起点到终点的矢量)。
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(考题范例：计算题 4.1)
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闭合线圈 \(\to\) 【磁力矩】(方法 6)。
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做题步骤：a. 求 \(\bm{p}_m = IS \hat{\bm{n}}\)； b. \(\bm{M} = \bm{p}_m \times \bm{B}\) (注意 \(\alpha\) 是 \(\bm{p}_m\) 和 \(\bm{B}\) 的夹角)。
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(考题范例：计算题 4.2)
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题型三：求磁通量 (Find \(\Phi_m\))¶
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识别： 题目要求计算 \(\Phi_m\)。
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方法：
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看 \(B\) 是否均匀：
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是 \(\to \Phi_m = B S \cos\theta\)。
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否 \(\to\) 立即使用【微元法 + 积分】(方法 7)。
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(通常是 \(B\) 随 \(r\) 变化)
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做题步骤：a. 求出 \(B(r)\) (通常是 \(\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\))； b. 取面积微元 \(\mathrm{d}S = a \cdot \mathrm{d}r\)； c. 积分 \(\Phi_m = \int B(r) \mathrm{d}S\)。
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(考题范例：填空题 12)
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Part 4: 磁介质 (Magnetic Materials)¶
这部分完全复刻电介质的【万能三步法】。
1. 核心公式 (必须背诵)¶
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核心关系：
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\(\bm{B} = \mu \bm{H} = \mu_0 \mu_r \bm{H}\)
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\(\bm{B} = \mu_0 (\bm{H} + \bm{M})\)
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安培环路定理 (介质版 - 求 \(H\) 的利器):
\[\oint_L \bm{H} \cdot \mathrm{d}\bm{l} = \sum I_{free}\]
2. 核心题型与做题方法¶
题型一：含磁介质的计算 (Find \(B, H, M\))¶
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识别： 题目中有 \(\mu_r\) 或 \(\mu\) (磁导率)。
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方法：【万能三步法】
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用 \(\bm{H}\) 的安培定理 (方法 2) 求 \(\bm{H}\)。
- (画安培环路，\(\oint H \cdot dl = H \cdot L\)，只看自由电流 \(I_{free}\))。
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用 \(\bm{B} = \mu \bm{H}\) 求 \(\bm{B}\)。
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用 \(\bm{B}\) 或 \(\bm{H}\) 求其他量。
- 求磁化强度：\(\bm{M} = (\mu_r - 1)\bm{H}\)。
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(考题范例：21-22 期中卷 填空题 15)
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Part 5: 电磁感应 (Electromagnetic Induction)¶
这是期中考试的压轴和难点！ 核心是判断 \(\Phi_m\) 为什么变化。
1. 核心公式 (必须背诵)¶
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法拉第电磁感应定律 (总纲):
$\(\varepsilon_i = -\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}\)$ 2. 楞次定律： 感应电流的效果总是**阻碍**磁通量的**变化**。
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动生电动势 (导体运动切割):
$\(\mathrm{d}\varepsilon_i = (\bm{v} \times \bm{B}) \cdot \mathrm{d}\bm{l}\)$ - (直棒平动)：\(\varepsilon_i = BLv\)
- (直棒绕端点转动)：\(\varepsilon_i = \int_0^L (\omega r) B \mathrm{d}r = \frac{1}{2}B\omega L^2\)
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感生电动势 (磁场变化):
$\(\oint_L \bm{E}_i \cdot \mathrm{d}\bm{l} = -\iint_S \frac{\partial \bm{B}}{\partial t} \cdot \mathrm{d}\bm{S}\)$ 5. 自感/互感：
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\(L = \Psi / I\) ; \(M = \Psi_{21} / I_1\)
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\(\varepsilon_L = -L \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}\) ; \(\varepsilon_{21} = -M \frac{\mathrm{d}I_1}{\mathrm{d}t}\)
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磁场能量：
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\(W_m = \frac{1}{2}LI^2\)
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\(w_m = \frac{1}{2}BH = \frac{B^2}{2\mu}\)
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2. 核心题型与做题方法¶
题型一：求感应电动势 (Find \(\varepsilon_i\))¶
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识别： 题目要求 \(\varepsilon_i\) 或感应电流 \(I_i\)。
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方法：
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分析磁通量 \(\Phi_m = \int B \cdot dS\) 为什么变化？
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Case A: 导体运动, \(B\) 不变 (动生 \(\varepsilon_i\))
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\(\to\) 立即使用【动生电动势公式】(方法 3)。
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\(\varepsilon_i = \int (\bm{v} \times \bm{B}) \cdot \mathrm{d}\bm{l}\)。
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(考题范例：
大学物理 第 14 章.pdf例 1, 3)
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Case B: 导体不动, \(B\) 变化 (\(B(t)\)) (感生 \(\varepsilon_i\))
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\(\to\) 立即使用【法拉第定律】(方法 1)。
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\(\varepsilon_i = -\frac{d}{dt} \int B(t) dS = -S \frac{dB}{dt}\) (如果 \(S\) 不变)。
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(考题范例：
大学物理 第 14 章.pdf例 4)
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Case C: 导体运动, \(B\) 也变化 (\(B(t)\)) (动生 + 感生)
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\(\to\) 【必考大题：拆分法】
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\(\varepsilon_{总} = \varepsilon_{动生} + \varepsilon_{感生}\)
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a. 求动生： 假装 \(B\) 不变 (取 \(t\) 时刻的 \(B(t)\))，只看 \(\bm{v}\) 运动。 \(\varepsilon_{动生} = \int (\bm{v} \times \bm{B}(t)) \cdot \mathrm{d}\bm{l}\)
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b. 求感生： 假装 \(\bm{v}=0\) (取 \(t\) 时刻的位置 \(x(t)\))，只看 \(B(t)\) 变化。 \(\varepsilon_{感生} = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int B(t) \cdot \mathrm{d}\bm{S}(x)\)
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c. 相加。 (注意用楞次定律判断二者方向)
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(考题范例：
大学物理 第 14 章.pdf例 6)
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题型二：求自感/互感 (Find \(L\) or \(M\))¶
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识别： 题目要求 \(L\) 或 \(M\)。
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方法：【定义法三步走】
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假设线圈 1 通有电流 \(I_1\)。
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用**安培定律**或**B-S定律**求出 \(I_1\) 产生的磁场 \(B_1\)。
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计算 \(B_1\) 穿过线圈 2 的磁通量 \(\Phi_{21}\) (如果是自感 \(L\)，就穿过线圈 1 自己)。
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\(M = \frac{\Psi_{21}}{I_1} = \frac{N_2 \Phi_{21}}{I_1}\) (或 \(L = \frac{N_1 \Phi_1}{I_1}\))。
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(考题范例：
大学物理 第 14 章.pdf例 7, 8)
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题型三：求磁场能量 (Find \(W_m\))¶
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识别： 题目要求 \(W_m\) 或 \(w_m\)。
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方法：
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求 \(B\) 和 \(H\)： (使用 Part 3 或 4 的方法)。
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求 \(w_m\)： \(w_m = \frac{1}{2}BH\)。
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积分： \(W_m = \int_V w_m \mathrm{d}V\) (通常是 \(\int_{R_1}^{R_2} ... 2\pi r l \mathrm{d}r\))。
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(考题范例：
大学物理 第 14 章.pdf例 9)
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