知识点

本指南融合了 2019-2022 年的历年真题和讲义，旨在为您提供一份涵盖所有考点的完整复习资料。

模块一：静电场 (E-Field & V-Field)¶

1.1 电场强度 \(E\)¶

1.1.1 库仑定律与点电荷电场¶

• 概念： 描述真空中两个静止点电荷 \(q_1\) 和 \(q_2\) 之间相互作用力 \(F\) 的定律。

• 公式 (库仑定律)： \(\bm{F} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{\bm{r}}\)

• 概念 (电场强度)： 空间某一点的电场强度 \(\bm{E}\) 定义为置于该点的单位正试验电荷所受的电场力。

• 公式 (点电荷 \(E\))： \(\bm{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \hat{\bm{r}}\)

• 叠加原理： 空间某点的总电场强度等于各个点电荷单独在该点产生的电场强度的**矢量和**。

1.1.2 高斯定理 (求 \(E\) 的第一利器)¶

• 概念： 穿过任意闭合曲面（高斯面 \(S\)）的电通量 \(\Phi_e\)，等于该面内包围的**净电荷** \(\sum q_{in}\) 除以 \(\varepsilon_0\)。

• 公式 (高斯定理)： \(\Phi_e = \oiint_S \bm{E} \cdot \mathrm{d}\bm{S} = \frac{\sum q_{in}}{\varepsilon_0}\)

• 应用时机： 当电荷分布具有高度对称性时（球对称、轴对称、面对​​称）。

• SOP (标准作业程序)：

  1. 根据对称性，画一个合适的高斯面。

  2. 计算左边积分：\(\oiint \bm{E} \cdot \mathrm{d}\bm{S} = E \cdot S_{高斯面}\) (因为 \(E\) 在高斯面上大小处处相等，方向与 \(\mathrm{d}\bm{S}\) 平行)。

  3. 计算右边电荷：\(\sum q_{in}\) (根据 \(\lambda, \sigma, \rho\) 计算高斯面内的总电荷)。

  4. 联立求解 \(E\)。

• 核心结论 (必背)：

  • 均匀带电球面 (半径 \(R\), 电荷 \(Q\))：

    • \(r > R\) (球外)：\(E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\) (等效为点电荷)

    • \(r < R\) (球内)：\(E = 0\)

  • 无限长均匀带电直线 (线密度 \(\lambda\))：

    • \(E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}\) ( \(r\) 为到直线的垂直距离)

  • 无限大均匀带电平面 (面密度 \(\sigma\))：

    • \(E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\) (方向垂直平面，大小与距离无关)

1.1.3 连续带电体 (微元法)¶

• 概念： 当对称性不足时，将带电体分割为无数个点电荷微元 \(\mathrm{d}q\)，分别计算 \(\mathrm{d}\bm{E}\)，然后通过**矢量积分**求解总电场 \(\bm{E}\)。

• 公式： \(\bm{E} = \int \mathrm{d}\bm{E} = \int \frac{\mathrm{d}q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \hat{\bm{r}}\)

• 微元 \(\mathrm{d}q\) 的取法：

  • 线分布：\(\mathrm{d}q = \lambda \mathrm{d}l\)

  • 面分布：\(\mathrm{d}q = \sigma \mathrm{d}S\)

  • 体分布：\(\mathrm{d}q = \rho \mathrm{d}V\)

1.2 电势 \(V\) 与电势能 \(W_p\)¶

1.2.1 电势 \(V\) 的计算¶

• 概念： 静电场中某点 \(P\) 的电势 \(V_P\)，等于单位正电荷从 \(P\) 点移动到电势零点（通常取无穷远 \(V_\infty=0\)）过程中，电场力所做的功。电势是**标量**。

• 公式 (点电荷 \(V\))： \(V = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}\)

• 公式 (叠加原理)： 总电势等于各个电荷单独在该点产生电势的**代数和** (标量和，注意正负号)。

  • 例题【19-20 填空 1】： 边长为 \(a\) 的等边三角形三顶点放置 \(q, 2q, 3q\)。求中心 \(O\) 点电势。

  • 解答：

    1. 中心到顶点的距离 \(r = (a/2) / \cos(30^\circ) = a/\sqrt{3}\)。

    2. \(V_O = V_q + V_{2q} + V_{3q} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 r} (q + 2q + 3q) = \frac{6q}{4\pi\varepsilon_0 (a/\sqrt{3})} = \frac{3\sqrt{3}q}{2\pi\varepsilon_0 a}\)。

• 公式 (连续带电体)： \(V = \int \mathrm{d}V = \int \frac{\mathrm{d}q}{4\pi\varepsilon_0 r}\) (标量积分，比求 \(E\) 简单)。

  • 例题【21-22 计算 1(1)】： 长 \(2a\) 细杆带电 \(+Q\)，杆在 \([-a, a]\)，求 \(C\) 点 (\(x=2a\)) 的电势。

  • 解答：

    1. 线密度 \(\lambda = Q / (2a)\)。取微元 \(\mathrm{d}q = \lambda \mathrm{d}x'\) ( \(x' \in [-a, a]\) )。

    2. 微元到 \(C\) 点距离 \(r = 2a - x'\)。

    3. \(V_C = \int \frac{\mathrm{d}q}{4\pi\varepsilon_0 r} = \int_{-a}^{a} \frac{\lambda \mathrm{d}x'}{4\pi\varepsilon_0 (2a-x')} = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0} [-\ln(2a-x')]_{-a}^{a}\)

    4. \(V_C = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0} (-\ln(a) + \ln(3a)) = \frac{Q}{8\pi\varepsilon_0 a} \ln 3\)。

  • 例题【19-20 综合 14】： 细棒 \(AC\) 长 \(2l\)，\(AB\) 带 \(-\lambda\)，\(BC\) 带 \(+\lambda\)。\(P\) 点在棒的垂直平分线上。求 \(P\) 点电势。

  • 解答： 对于 \(AB\) 上的任一微元 \(-\lambda \mathrm{d}x\) 和 \(BC\) 上对称的微元 \(+\lambda \mathrm{d}x\)，它们到 \(P\) 点距离 \(r\) 相等。它们在 \(P\) 点产生的电势 \(\mathrm{d}V = \frac{-\lambda \mathrm{d}x}{4\pi\varepsilon_0 r} + \frac{+\lambda \mathrm{d}x}{4\pi\varepsilon_0 r} = 0\)。因此整个棒在 \(P\) 点的总电势为 0。

1.2.2 电势与电场的关系¶

• 公式 ( \(E\) 积分求 \(V\) )： \(V_a - V_b = \int_a^b \bm{E} \cdot \mathrm{d}\bm{l}\)

• 公式 ( \(V\) 求导求 \(E\) )： \(\bm{E} = -\nabla V = - \left( \frac{\partial V}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial V}{\partial y}\vec{j} + \frac{\partial V}{\partial z}\vec{k} \right)\) (电场强度是电势的负梯度)

  • 例题【20-21 填空 3】： 电势 \(V=80x^{2}+60y^{2}\)，求 \(P(-2, 4, 6)\) m 处的电场强度 \(\vec{E}\)。

  • 解答：

    1. \(E_x = -\frac{\partial V}{\partial x} = -160x\)。

    2. \(E_y = -\frac{\partial V}{\partial y} = -120y\)。

    3. \(E_z = -\frac{\partial V}{\partial z} = 0\)。

    4. 代入 \(P(-2, 4, 6)\)：\(E_x = -160(-2) = 320\) V/m；\(E_y = -120(4) = -480\) V/m。

    5. \(\vec{E} = (320\vec{i} - 480\vec{j}) \text{ V/m}\)。

  • 例题【19-20 填空 3】： \(V=A~\ln(x^{2}+y^{2})\)，求 \(E_x\) 和 \(E_z\)。

  • 解答： \(E_x = -\frac{\partial V}{\partial x} = -A \frac{2x}{x^2+y^2}\)；\(E_z = -\frac{\partial V}{\partial z} = 0\)。

1.2.3 电势能 \(W_p\) 与电场力做功 \(W\)¶

• 概念 (电势能)： 电荷 \(q\) 在电势为 \(V\) 处具有的电势能 \(W_p = qV\)。

• 概念 (电场力做功)： 电荷 \(q\) 从 \(a\) 点移到 \(b\) 点，电场力做的功 \(W_{ab}\) 等于电势能的减少量。

• 公式 (做功)： \(W_{ab} = W_{p,a} - W_{p,b} = qV_a - qV_b = q(V_a - V_b)\)

• 公式 (外力做功)： \(W_{外} = -W_{电} = q(V_b - V_a)\)

  • 例题【20-21 填空 1】： 在 \(-Q\) 的电场中，将 \(q\) 从 \(r_1\) 移到 \(r_2\)，电场力做功。

  • 解答：

    1. \(V_a = \frac{-Q}{4\pi\varepsilon_0 r_1}\)；\(V_b = \frac{-Q}{4\pi\varepsilon_0 r_2}\)。

    2. \(W_{ab} = q(V_a - V_b) = q \left( \frac{-Q}{4\pi\varepsilon_0 r_1} - \frac{-Q}{4\pi\varepsilon_0 r_2} \right) = \frac{-qQ}{4\pi\varepsilon_0} (\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2})\)。

• 概念 (粒子运动)： 带电粒子在电场中运动，电场力做功等于其动能的改变量 (动能定理)。

• 公式 (能量守恒)： \(W_{电} = \Delta E_k \implies q(V_a - V_b) = \frac{1}{2}mv_b^2 - \frac{1}{2}mv_a^2\)

  • 移项得：\(qV_a + \frac{1}{2}mv_a^2 = qV_b + \frac{1}{2}mv_b^2\) (电势能 + 动能 = 守恒)

  • 例题【21-22 计算 1(2)】： 粒子 \(q, m\) 在 \(C\) 点 (\(V_C = \frac{Q}{8\pi\varepsilon_0 a} \ln 3\), 速率 \(v\))，运动到无穷远 (\(V_\infty = 0\))，求末速率 \(v_x\)。

  • 解答：

    1. \(qV_C + \frac{1}{2}mv^2 = qV_\infty + \frac{1}{2}mv_x^2\)

    2. \(q(\frac{Q \ln 3}{8\pi\varepsilon_0 a}) + \frac{1}{2}mv^2 = 0 + \frac{1}{2}mv_x^2\)

    3. \(v_x = \sqrt{v^2 + \frac{qQ \ln 3}{4\pi\varepsilon_0 am}}\)

模块二：导体、电容与电介质¶

2.1 导体静电平衡¶

• 核心特性：

  1. 导体内部 \(E_{in} = 0\)。

  2. 导体是**等势体** (内部处处、表面处处电势相等)。

  3. 电荷只分布在导体**表面**。

  4. 导体表面电场强度 \(E_{\text{表}} = \sigma / \varepsilon_0\)，且方向与表面垂直。

• 应用 (导体球壳/空腔)：

  • 例题【21-22 填空 4】： 导体球壳 \(R_1, R_2\) 带电 \(+Q\)。空腔内 \(r\) 处有点电荷 \(q\)。求内、外表面电量。

  • 解答：

    1. 在 \(R_1 < r' < R_2\) (导体内部) 画高斯面 \(S'\)。

    2. \(E_{in} = 0 \implies \Phi_E = 0 \implies \sum q_{in} = 0\)。

    3. \(S'\) 包围了 \(q\) 和内表面 \(q_{R1}\) \(\implies q + q_{R1} = 0 \implies q_{R1} = -q\)。

    4. 电荷守恒：\(Q_{总} = q_{R1} + q_{R2} \implies +Q = (-q) + q_{R2} \implies q_{R2} = Q + q\)。

• 应用 (接地/连接)：

  • 接地 \(\implies V = 0\)。

  • 连接 \(\implies V_A = V_B\)。

  • 例题【19-20 填空 4】： 内球 \(a\) 带 \(Q\)，外球 \(b\) 带 \(Q'\)。要使内球电势为零 (\(V_a=0\))，求 \(Q'\)。

  • 解答：

    1. \(V_a\) 是自身电荷和外球壳电荷产生电势的叠加。

    2. \(V_a = V_{Q(\text{自身})} + V_{Q'(\text{外球})} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 a} + \frac{Q'}{4\pi\varepsilon_0 b}\) (注意：外球壳 \(Q'\) 在其内部 \(a\) 处产生的电势等于其表面电势 \(V_b\))。

    3. \(V_a = 0 \implies \frac{Q}{a} + \frac{Q'}{b} = 0 \implies Q' = -Q \frac{b}{a}\)。

  • 例题【20-21 填空 4】： 两金属球 \(a, b\) 用导线相连，带总电荷 \(Q\)。求 \(Q_a, Q_b\)。

  • 解答：

    1. 连接 \(\implies V_a = V_b \implies \frac{Q_a}{4\pi\varepsilon_0 a} = \frac{Q_b}{4\pi\varepsilon_0 b} \implies Q_a/a = Q_b/b\)。

    2. 守恒 \(\implies Q_a + Q_b = Q\)。

    3. 联立解得：\(Q_a = \frac{aQ}{a+b}\)，\(Q_b = \frac{bQ}{a+b}\)。

2.2 电容器 \(C\)¶

• 概念： 储存电荷和电场的装置。

• 公式 (定义)： \(C = Q / U\) ( \(Q\) 为一个极板的电荷量， \(U\) 为两极板电势差)。 \(C\) 只与自身结构和电介质有关。

• 公式 (平行板)： \(C = \frac{\varepsilon_0 S}{d}\) (真空中)。

• 电容器操作 (重点！)

  • Case 1: 充电后“断开电源” \(\implies Q\) 恒定不变。

    • 例题【19-20 填空 5】： \(C_0\) 电压 \(U\)。断开。插入 \(d/3\) 金属板。求新电压 \(U'\)。

    • 解答：

      1. \(Q\) 不变。\(Q = C_0 U = (\frac{\varepsilon_0 S}{d}) U\)。

      2. 插入金属板 (\(E_{in}=0\))，电场 \(E = \sigma/\varepsilon_0 = Q/(\varepsilon_0 S) = U/d\) (场强不变)。

      3. 新电压 \(U' = \int E \cdot dl = E \cdot (d - d/3) = (U/d) \cdot (2d/3) = \frac{2}{3}U\)。

      4. (或 \(C' = \frac{\varepsilon_0 S}{d - d/3} = \frac{3}{2} C_0\)。\(U' = Q/C' = Q_0 / (1.5 C_0) = U / 1.5 = \frac{2}{3}U\))

  • Case 2: “保持电源连接” \(\implies U\) 恒定不变。

    • 例题【20-21 填空 6】： \(C_0\) 接 500V。存能 \(W_0\)。充满 \(\epsilon_r = 2.6\) 液体，求从电源流过的 \(\Delta Q\)。

    • 解答：

      1. \(U = 500V\) 不变。

      2. \(C_0 = \varepsilon_0 S/d = 8.85\!\times\!10^{-12} \cdot (200\!\times\!10^{-4}) / (0.4\!\times\!10^{-2}) = 4.425\!\times\!10^{-11}\) F。

      3. \(W_0 = \frac{1}{2}C_0 U^2 = \frac{1}{2}(4.425\!\times\!10^{-11})(500)^2 \approx 5.53 \times 10^{-6}\) J。

      4. \(Q_0 = C_0 U = (4.425\!\times\!10^{-11})(500) = 2.21 \times 10^{-8}\) C。

      5. \(C' = \epsilon_r C_0 = 2.6 \times C_0\)。

      6. \(Q' = C' U = (2.6 \times C_0) U = 2.6 \times Q_0\)。

      7. \(\Delta Q = Q' - Q_0 = 2.6 Q_0 - Q_0 = 1.6 Q_0 = 1.6 \times (2.21 \times 10^{-8}) \approx 3.54 \times 10^{-8}\) C。

2.3 电介质 (D-E-P三步法)¶

• 核心概念： 引入电介质 \(\epsilon_r\) 会削弱电场 \(E\)，但能提高电容 \(C\)。

• 电位移 \(\bm{D}\)： \(\oiint_S \bm{D} \cdot \mathrm{d}\bm{S} = \sum q_{\text{free}}\) (只看**自由电荷**的高斯定理)

• 本构关系： \(\bm{D} = \varepsilon \bm{E} = \varepsilon_0 \varepsilon_r \bm{E}\)

• 极化强度 \(\bm{P}\)： 描述介质极化程度。\(\bm{D} = \varepsilon_0 \bm{E} + \bm{P} \implies \bm{P} = (\varepsilon - \varepsilon_0)\bm{E} = \varepsilon_0 (\varepsilon_r - 1)\bm{E}\)

• 束缚电荷 \(\sigma'\)： \(\sigma' = \bm{P} \cdot \bm{n}\) ( \(\bm{n}\) 为介质表面的外法线)

• 万能三步法 (D \(\to\) E \(\to\) P)：

  • 例题【21-22 计算 2】： 同轴圆柱电容器 \(R_1, R_2\)，介质 \(\epsilon_r\)，自由电荷线密度 \(\lambda_0\)。求 (1) \(E\) (2) \(D\) (3) \(\sigma'\)。

  • 解答：

    1. Step 1 (求 D)： 画半径 \(r\) 的高斯面。\(\oiint \bm{D} \cdot \mathrm{d}\bm{S} = q_{free} \implies D \cdot (2\pi r L) = \lambda_0 L \implies D = \frac{\lambda_0}{2\pi r}\)。(第2问解决)

    2. Step 2 (求 E)： \(E = \frac{D}{\varepsilon} = \frac{D}{\varepsilon_0 \varepsilon_r} = \frac{\lambda_0}{2\pi\varepsilon_0 \varepsilon_r r}\)。(第1问解决)

    3. Step 3 (求 \(\sigma'\))：

       • \(P = \varepsilon_0 (\varepsilon_r - 1) E = \varepsilon_0 (\varepsilon_r - 1) \frac{\lambda_0}{2\pi\varepsilon_0 \varepsilon_r r} = \frac{(\varepsilon_r-1)\lambda_0}{2\pi\varepsilon_r r}\)。

       • 内表面 \(r=R_1\)：\(\bm{n}\) 指向-r。\(\sigma'_{R1} = \bm{P} \cdot \bm{n} = P \cos(180^\circ) = -P|_{R_1} = -\frac{(\varepsilon_r-1)\lambda_0}{2\pi\varepsilon_r R_1}\)。

       • 外表面 \(r=R_2\)：\(\bm{n}\) 指向+r。\(\sigma'_{R2} = \bm{P} \cdot \bm{n} = P \cos(0^\circ) = +P|_{R_2} = \frac{(\varepsilon_r-1)\lambda_0}{2\pi\varepsilon_r R_2}\)。(第3问解决)

2.4 静电场能量¶

• 公式 (电容器总能量)： \(W_e = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{Q^2}{2C}\)

• 公式 (能量密度)： \(w_e = \frac{W_e}{\text{Volume}}\)

• 公式 (能量密度 - 通用)： \(w_e = \frac{1}{2}\varepsilon E^2 = \frac{1}{2}\bm{D} \cdot \bm{E}\)

• 公式 (总能量 - 积分)： \(W_e = \int_V w_e \mathrm{d}V\)

  • 例题【20-21 计算 2】： 同轴电缆 \(a, b\)，介质 \(\epsilon_r\)，电荷 \(\pm \lambda\)。求单位长度能量。

  • 解答：

    1. (同 2.3 例题) \(D = \frac{\lambda}{2\pi r}\)，\(E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 \varepsilon_r r}\)。

    2. \(w_e = \frac{1}{2} D E = \frac{1}{2} (\frac{\lambda}{2\pi r}) (\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 \varepsilon_r r}) = \frac{\lambda^2}{8\pi^2 \varepsilon_0 \varepsilon_r r^2}\)。

    3. 取 \(\mathrm{d}V = (2\pi r \mathrm{d}r) \cdot L\) ( \(L=1\) )。

    4. \(W_e/L = \int_a^b w_e (2\pi r \mathrm{d}r) = \int_a^b \frac{\lambda^2}{8\pi^2 \varepsilon_0 \varepsilon_r r^2} (2\pi r \mathrm{d}r) = \frac{\lambda^2}{4\pi\varepsilon_0 \varepsilon_r} \int_a^b \frac{1}{r} \mathrm{d}r\)

    5. \(W_e/L = \frac{\lambda^2}{4\pi\varepsilon_0 \varepsilon_r} \ln(b/a)\)。

模块三：稳恒磁场 (B-Field)¶

3.1 磁感应强度 \(B\) 的计算¶

• 概念： 描述磁场强弱和方向的矢量，单位特斯拉 (T)。

• 公式 (毕奥-萨伐尔定律)： \(\mathrm{d}\bm{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I \mathrm{d}\bm{l} \times \hat{\bm{r}}}{r^2}\) (用于微元积分)

• B-S 结论 (必背)：

  • 无限长直导线： \(B = \frac{\mu_0 I}{2\pi a}\) ( \(a\) 为垂直距离)

  • 半无限长直导线 (端点)： \(B = \frac{\mu_0 I}{4\pi a}\)

  • 圆形电流 (圆心)： \(B = \frac{\mu_0 I}{2R}\)

  • 圆弧 (圆心, 弧度 \(\theta\))： \(B = \frac{\mu_0 I}{4\pi R} \theta\)

• 应用 (叠加原理)： \(B\) 场是矢量，总磁场 \(\bm{B}_{总} = \sum \bm{B}_i\)。

  • 例题【20-21 填空 9】： \(3\pi/4\) 圆弧 + 两个半无限长直线，求 \(O\) 点 \(B\)。

  • 解答：

    1. \(B_{弧}\)：\(\theta = 3\pi/4\)。\(B_{弧} = \frac{\mu_0 I (3\pi/4)}{4\pi R} = \frac{3\mu_0 I}{16R}\) ( \(\odot\) 向外)。

    2. \(B_{直1}\) (上)：\(B_{直1} = \frac{\mu_0 I}{4\pi R}\) ( \(\odot\) 向外)。

    3. \(B_{直2}\) (下)：\(B_{直2} = \frac{\mu_0 I}{4\pi R}\) ( \(\odot\) 向外)。

    4. \(B_{总} = B_{弧} + B_{直1} + B_{直2} = \frac{3\mu_0 I}{16R} + \frac{\mu_0 I}{4\pi R} + \frac{\mu_0 I}{4\pi R} = \frac{3\mu_0 I}{16R} + \frac{\mu_0 I}{2\pi R}\) ( \(\odot\) 向外)。

• 公式 (安培环路定理)： \(\oint_L \bm{B} \cdot \mathrm{d}\bm{l} = \mu_0 \sum I_{in}\)

• 应用 (高对称性)：

  • 例题【19-20 综合 19, 20, 21】： 同轴电缆，内 \(R_1\)，外 \(R_2, R_3\)，电流 \(I\) 流入， \(I\) 流出。求 \(B(r)\)。

  • 解答：

    1. \(r < R_1\) (内导体内部)： \(\oint B \cdot dl = B \cdot (2\pi r)\)。\(I_{in} = I \cdot \frac{\pi r^2}{\pi R_1^2}\) (电流按面积均分)。

       \(\implies B \cdot (2\pi r) = \mu_0 I \frac{r^2}{R_1^2} \implies B_1 = \frac{\mu_0 I r}{2\pi R_1^2}\)。

    2. \(R_1 < r < R_2\) (两导体之间)： \(I_{in} = I\) (包围全部中心电流)。

       \(\implies B \cdot (2\pi r) = \mu_0 I \implies B_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}\)。

    3. \(R_2 < r < R_3\) (外导体内部)： \(I_{in} = I_{\text{内}} + I_{\text{外(部分)}}\)。

       \(I_{\text{外(部分)}} = (-I) \cdot \frac{\text{A}_{\text{部分}}}{\text{A}_{\text{总}}} = (-I) \frac{\pi r^2 - \pi R_2^2}{\pi R_3^2 - \pi R_2^2}\)。

       \(I_{in} = I - I \frac{r^2 - R_2^2}{R_3^2 - R_2^2} = I \frac{(R_3^2 - R_2^2) - (r^2 - R_2^2)}{R_3^2 - R_2^2} = I \frac{R_3^2 - r^2}{R_3^2 - R_2^2}\)。

       \(\implies B_3 = \frac{\mu_0 I_{in}}{2\pi r} = \frac{\mu_0 I (R_3^2 - r^2)}{2\pi r (R_3^2 - R_2^2)}\)。

3.2 运动电荷的磁场 (等效电流)¶

• 概念： 运动的电荷 \(q\) (如电子) 可等效为一个电流 \(I\)。

• 公式 (等效电流)： \(I = \frac{q}{T} = qf\) (电荷量 / 周期)。

• 应用 (电子绕核)： \(T = \frac{2\pi r}{v}\) \(\implies I = \frac{e}{2\pi r / v} = \frac{ev}{2\pi r}\)。

  • 例题【19-20 填空 9】： 电子 ( \(e, v, a\) ) 绕核运动，求 \(B_{\text{中心}}\) 和 \(p_m\) (磁矩)。

  • 解答：

    1. \(I = \frac{ev}{2\pi a}\)。

    2. \(B_{\text{中心}}\) (套圆心公式)：\(B = \frac{\mu_0 I}{2a} = \frac{\mu_0 (ev/2\pi a)}{2a} = \frac{\mu_0 ev}{4\pi a^2}\)。

    3. \(p_m\) (磁矩)：\(p_m = I \cdot S = (\frac{ev}{2\pi a}) \cdot (\pi a^2) = \frac{eva}{2}\)。

3.3 磁通量 \(\Phi_m\)¶

• 概念： 穿过一个面 \(S\) 的磁感线条数。

• 公式： \(\Phi_m = \iint_S \bm{B} \cdot \mathrm{d}\bm{S}\)

• 应用 ( \(B\) 非均匀)：

  • 例题【19-20 填空 10】： 长直导线 \(I\) 旁，求 \(S_1\) ( \(a\) 到 \(2a\) ) 和 \(S_2\) ( \(2a\) 到 \(4a\) ) 的磁通量之比。

  • 解答：

    1. \(B(r) = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}\)。

    2. 取 \(\mathrm{d}S = b \cdot \mathrm{d}r\) ( \(b\) 为矩形高)。

    3. \(\Phi_1 = \int_a^{2a} B(r) dS = \int_a^{2a} \frac{\mu_0 I}{2\pi r} (b \mathrm{d}r) = \frac{\mu_0 I b}{2\pi} [\ln r]_a^{2a} = \frac{\mu_0 I b}{2\pi} \ln(2)\)。

    4. \(\Phi_2 = \int_{2a}^{4a} B(r) dS = \int_{2a}^{4a} \frac{\mu_0 I}{2\pi r} (b \mathrm{d}r) = \frac{\mu_0 I b}{2\pi} [\ln r]_{2a}^{4a} = \frac{\mu_0 I b}{2\pi} \ln(2)\)。

    5. 比例为 \(1:1\)。

模块四：磁场中的力 (Forces)¶

4.1 洛伦兹力 (对粒子)¶

• 概念： 运动电荷 \(q\) 在磁场 \(B\) 中受到的力。

• 公式： \(\bm{F} = q(\bm{v} \times \bm{B})\) (方向用右手定则，若 \(q\) 为负，方向相反！)

  • 例题【21-22 填空 14】： 电子 \(q=-e\)，\(\vec{B}=0.40\vec{i}-0.20\vec{j}\)，\(\vec{v}=0.50\!\times\!10^{6}\vec{i}+1.0\!\times\!10^{6}\vec{j}\)。求 \(\vec{F}\)。

  • 解答：

    1. \(\vec{v} \times \vec{B} = (0.5\vec{i} + 1.0\vec{j}) \times (0.4\vec{i} - 0.2\vec{j}) \times 10^6\) ( \(\vec{i}\times\vec{i}=0, \vec{j}\times\vec{j}=0\) )

    2. \(= (0.5 \times -0.2)(\vec{i}\times\vec{j}) + (1.0 \times 0.4)(\vec{j}\times\vec{i})\)

    3. \(= -0.1(\vec{k}) + 0.4(-\vec{k}) = -0.5 \times 10^6 \vec{k}\)。

    4. \(\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B}) = (-1.6 \times 10^{-19}) \cdot (-0.5 \times 10^6 \vec{k}) = +8 \times 10^{-14} \vec{k} \text{ N}\)。

4.2 安培力 (对导线)¶

• 概念： 载流导线在磁场 \(B\) 中受到的力。

• 公式 (微元)： \(\mathrm{d}\bm{F} = I \mathrm{d}\bm{l} \times \bm{B}\)

• 公式 (匀强 \(B\) )： \(\bm{F} = I (\bm{L}_{eff} \times \bm{B})\)

  • \(\bm{L}_{eff}\) 是从导线**起点**指向**终点**的矢量。

  • 例题【19-20 填空 11】： \(1/4\) 圆弧 \(ab\) (半径 \(R\))，电流 \(I\)。匀强 \(B\) 沿 \(ca\) 方向。求 \(F_{ab}\)。

  • 解答：

    1. \(\bm{L}_{eff}\) (从 \(a\) 到 \(b\))：大小为 \(\sqrt{R^2+R^2} = \sqrt{2}R\)。方向与 \(B\) ( \(ca\) 方向) 成 \(45^\circ\)。

    2. \(F_{ab} = I \cdot L_{eff} \cdot B \cdot \sin(45^\circ) = I \cdot (\sqrt{2}R) \cdot B \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}) = BIR\)。

• 应用 (导线间作用力)：

  • 例题【20-21 填空 13】： 长直导线 \(I_1=20\)A，矩形线圈 \(I_2=10\)A，\(l=0.2\)m。左边距 \(x_1=0.01\)m，右边距 \(x_2=0.1\)m。求合力。

  • 解答：

    1. \(B_1(r) = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi r}\) (由 \(I_1\) 产生)。

    2. 左边受力 \(F_1\) (同向，相吸，向左)：\(F_1 = I_2 l B_1(x_1) = (10)(0.2) \frac{\mu_0 (20)}{2\pi (0.01)} = 8 \times 10^{-4}\) N。

    3. 右边受力 \(F_2\) (反向，相斥，向右)：\(F_2 = I_2 l B_1(x_2) = (10)(0.2) \frac{\mu_0 (20)}{2\pi (0.1)} = 0.8 \times 10^{-4}\) N。

    4. \(F_{合} = F_1 - F_2 = (8 - 0.8) \times 10^{-4} = 7.2 \times 10^{-4}\) N (方向向左)。

4.3 磁力矩 \(M\) (对线圈)¶

• 概念 (磁矩)： \(\bm{p}_m = NIS\hat{\bm{n}}\) ( \(N\) 匝, \(I\) 电流, \(S\) 面积, \(\hat{\bm{n}}\) 法向用右手定则判断)

• 公式 (力矩)： \(\bm{M} = \bm{p}_m \times \bm{B}\)

• 公式 (大小)： \(M = p_m B \sin\alpha\) ( \(\alpha\) 是 \(\bm{p}_m\) 和 \(\bm{B}\) 的夹角)

  • 例题【19-20 填空 8】： \(N=1, R, I\) 的圆线圈 \(\to\) \(N=2, r=?, I\) 的圆线圈。\(p_m\) 变为几倍？

  • 解答：

    1. 长度守恒：\(L = 1 \cdot (2\pi R) = 2 \cdot (2\pi r) \implies r = R/2\)。

    2. \(p_{m,1} = N_1 I S_1 = 1 \cdot I \cdot (\pi R^2) = I\pi R^2\)。

    3. \(p_{m,2} = N_2 I S_2 = 2 \cdot I \cdot (\pi r^2) = 2 \cdot I \cdot \pi(R/2)^2 = \frac{1}{2} I\pi R^2\)。

    4. \(p_{m,2} / p_{m,1} = 1/2\) 倍。

  • 例题【20-21 填空 10】： \(N=20, S=0.005, I=0.1\)。平面与 \(xy\) 平面成 \(30^\circ\)。\(B=0.5\) (沿 \(x\) 轴)。求 \(M\)。

  • 解答：

    1. \(p_m = NIS = 20 \times 0.1 \times 0.005 = 0.01 \text{ A}\cdot\text{m}^2\)。

    2. \(\alpha\) 是**法线** \(\bm{p}_m\) 与 \(\bm{B}\) 的夹角。

    3. 平面与 \(B\) ( \(x\) 轴在 \(xy\) 平面) 成 \(30^\circ\)。

    4. 法线 \(\bm{p}_m\) 与平面垂直，所以 \(\bm{p}_m\) 与 \(xy\) 平面成 \(90^\circ-30^\circ = 60^\circ\)。

    5. \(\alpha\) ( \(\bm{p}_m\) 与 \(B\) ) 的夹角即为 \(60^\circ\)。

    6. \(M = p_m B \sin(60^\circ) = (0.01)(0.5)(\sqrt{3}/2) \approx 4.33 \times 10^{-3} \text{ N}\cdot\text{m}\)。

模块五：磁介质¶

5.1 \(H, B, M\) 三者关系 (H-B-M 三步法)¶

• 核心概念： 磁介质会“增强”或“减弱”磁场。

• 磁场强度 \(\bm{H}\)： \(\oint_L \bm{H} \cdot \mathrm{d}\bm{l} = \sum I_{\text{free}}\) (只看**自由电流**的安培环路定理)

• 本构关系： \(\bm{B} = \mu \bm{H} = \mu_0 \mu_r \bm{H}\)

• 磁化强度 \(\bm{M}\)： \(\bm{B} = \mu_0 (\bm{H} + \bm{M}) \implies \bm{M} = \frac{\bm{B}}{\mu_0} - \bm{H} = (\mu_r - 1) \bm{H}\)

• 束缚电流 \(j_m\)： \(j_m = M\) (在螺线管/螺绕环表面)

• 万能三步法 (H \(\to\) B \(\to\) M)：

  • 例题【19-20 综合 24, 25】： 铁环 \(L=0.3\)m, \(S=10^{-4}\)m\(^2\), \(N=300\) 匝, \(I=0.032\)A。\(\Phi_B = 2 \times 10^{-6}\)Wb。求 \(H\) 和 \(j_m\)。

  • 解答：

    1. Step 1 (求 H)： \(\oint H \cdot dl = I_{free} \implies H \cdot L = N I\)。

       \(H = \frac{NI}{L} = \frac{300 \times 0.032}{0.3} = 32 \text{ A/m}\)。

    2. Step 2 (求 B)： \(B = \frac{\Phi_B}{S} = \frac{2 \times 10^{-6}}{1 \times 10^{-4}} = 0.02 \text{ T}\)。

    3. Step 3 (求 M, 即 \(j_m\))：

       \(M = \frac{B}{\mu_0} - H = \frac{0.02}{4\pi \times 10^{-7}} - 32 \approx 15915 - 32 \approx 1.59 \times 10^4 \text{ A/m}\)。

       \(j_m = M = 1.59 \times 10^4 \text{ A/m}\)。

  • 例题【20-21 计算 4】： 长螺线管 \(n\) 匝/米, 介质 \(\mu_r\), 电流 \(I\)。求 \(B\) 和 \(j_m\)。

  • 解答：

    1. Step 1 (求 H)： \(\oint H \cdot dl = I_{free} \implies H \cdot l = (nl) \cdot I \implies H = nI\)。

    2. Step 2 (求 B)： \(B = \mu H = \mu_0 \mu_r H = \mu_0 \mu_r n I\)。

    3. Step 3 (求 M, 即 \(j_m\))： \(M = (\mu_r - 1) H = (\mu_r - 1) n I\)。

       \(j_m = M = (\mu_r - 1) n I\)。

模块六：电磁感应 (期中考查较少)¶

(注：电磁感应的大部分内容在期末，期中主要涉及磁能)

6.1 磁场能量¶

• 公式 (自感磁能)： \(W_m = \frac{1}{2}LI^2\)

• 公式 (能量密度)： \(w_m = \frac{1}{2}\bm{B} \cdot \bm{H} = \frac{B^2}{2\mu}\)

• 公式 (总能量 - 积分)： \(W_m = \int_V w_m \mathrm{d}V\)

  • 例题【14章 例9】： 同轴电缆 \(R_1, R_2\), 介质 \(\mu\), 电流 \(I\)。求长 \(l\) 段的磁能。

  • 解答：

    1. (同 3.1 例题) \(R_1 < r < R_2\) 区域：

       \(H = \frac{I}{2\pi r}\) (只看自由电流 \(I\))。

       \(B = \mu H = \frac{\mu I}{2\pi r}\)。

    2. \(w_m = \frac{1}{2} B H = \frac{1}{2} (\frac{\mu I}{2\pi r}) (\frac{I}{2\pi r}) = \frac{\mu I^2}{8\pi^2 r^2}\)。

    3. 取 \(\mathrm{d}V = (2\pi r \mathrm{d}r) \cdot l\)。

    4. \(W_m = \int_{R_1}^{R_2} w_m \mathrm{d}V = \int_{R_1}^{R_2} \frac{\mu I^2}{8\pi^2 r^2} (2\pi r l \mathrm{d}r) = \frac{\mu I^2 l}{4\pi} \int_{R_1}^{R_2} \frac{1}{r} \mathrm{d}r\)

    5. \(W_m = \frac{\mu I^2 l}{4\pi} \ln(R_2 / R_1)\)。