第一部分：概率论核心计算与大数定律 (Ch1 Ch6)
没问题。你的策略非常正确：统计推断（区间估计和假设检验）本质上是一回事，核心都是“枢轴量” (Pivot Quantity)。只要记住了枢轴量，置信区间和拒绝域就能互相推导，根本不用死记硬背两套公式。
为了确保全面且详细，我将内容分为两个部分输出： 第一部分（本回答）：概率论核心计算（Ch1-Ch6） —— 重点在于算对积分、搞定变换。 第二部分（下一回答）：统计推断体系（Ch7-Ch9） —— 完全以“枢轴量”为纲，统一抽样分布、区间估计和假设检验。
第一章：随机事件与概率¶
核心口诀：加法看互斥，乘法看独立，分阶段用全概，求原因用贝叶斯。
1. 必背公式¶
- 条件概率：\(P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}\)
- 全概率公式（由因推果）：\(P(A) = \sum_{i} P(B_i)P(A|B_i)\)
- 贝叶斯公式（由果溯因）：\(P(B_k|A) = \frac{P(B_k)P(A|B_k)}{\sum_{i} P(B_i)P(A|B_i)}\)
2. 真题实战¶
【真题 1.8】(21-22 秋冬, 1)
题目：得病率 4%，有病被查出率 95%，没病被误诊率 5%。现某人被查出有病，求真得病的概率。
解法：标准的贝叶斯模型。 * 设 \(A=\)“得病”，\(B=\)“被查出有病”。 * 已知：\(P(A)=0.04\) (先验), \(P(B|A)=0.95\), \(P(B|\bar{A})=0.05\)。 * 求：\(P(A|B)\)。 * 计算： $\(P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(A)P(B|A) + P(\bar{A})P(B|\bar{A})} = \frac{0.04 \times 0.95}{0.04 \times 0.95 + 0.96 \times 0.05} = \frac{19}{43}\)$
第二、三章：一维与二维随机变量¶
核心口诀：离散画表，连续积分；边缘积分，独立拆分；条件就是除法。
1. 必背公式¶
- 期望与方差：
- \(E(X) = \int x f(x) dx\)
- \(Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\) （万能公式，必背）
- 协方差与相关系数：
- \(Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)\)
- \(\rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}\)
- 性质：若 \(X,Y\) 独立 \(\Rightarrow Cov=0, \rho=0\) （反之不一定，除非是二维正态）。
2. 真题实战（难点：二维区域积分）¶
【真题 3.4】(24-25 春夏, 9)
题目：\(f(x,y) = 8xy, 0<y<x<1\)。求 (1) \(P(X<2Y)\)；(2) 边缘密度并判断独立性。
解法： * 关键点1：画图。积分区域是三角形 \(0<y<x<1\)。 * (1) 求概率：\(P(X<2Y) \Rightarrow x/2 < y\)。 在原区域内截取满足 \(y > x/2\) 的部分。 $$ \int_{0}^{1} dx \int_{x/2}^{x} 8xy dy = \dots = \frac{3}{4} $$ * (2) 边缘密度 \(f_X(x)\)：把 \(y\) 积掉。 $$ f_X(x) = \int_{0}^{x} 8xy dy = 8x \left[\frac{y2}{2}\right]_0x = 4x^3 \quad (0<x<1) $$ * (3) 独立性：同理算出 \(f_Y(y) = 4y(1-y^2)\)。 验证 \(f(x,y) \neq f_X(x)f_Y(y)\)，所以**不独立**。 技巧：对于 \(f(x,y)\) 定义在三角形等非矩形区域，通常直接判断**不独立**。
第四章：常见分布¶
核心口诀：参数含义要记牢，期望方差直接套。
1. 必背参数表 (熟练度要求：条件反射)¶
| 分布 | 记号 | 关键公式 | \(E(X)\) | \(Var(X)\) |
|---|---|---|---|---|
| 二项 | \(B(n,p)\) | \(C_n^k p^k (1-p)^{n-k}\) | \(np\) | \(np(1-p)\) |
| 泊松 | \(P(\lambda)\) | \(\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\) | \(\lambda\) | \(\lambda\) |
| 均匀 | \(U(a,b)\) | \(f(x)=\frac{1}{b-a}\) | \(\frac{a+b}{2}\) | \(\frac{(b-a)^2}{12}\) |
| 指数 | \(E(\lambda)\) | \(f(x)=\lambda e^{-\lambda x} (x>0)\) | \(1/\lambda\) | \(1/\lambda^2\) |
| 正态 | \(N(\mu,\sigma^2)\) | 标准化 \(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\) | \(\mu\) | \(\sigma^2\) |
- 易错警告：指数分布 \(E(\lambda)\) 中，有的教材 \(\lambda\) 是参数，有的 \(\theta\) 是均值。看清题目给的密度函数！ 若给的是 \(\lambda e^{-\lambda x}\)，期望是 \(1/\lambda\)。
第五章：随机变量函数的分布（必考大题）¶
核心口诀：一维用分布函数法，二维用卷积或变量代换。
1. 必背公式¶
- 一维 \(Y=g(X)\)： 先写 \(F_Y(y) = P(g(X) \le y)\)，解不等式化为 \(X\) 的范围，代入 \(F_X\) 或积分 \(f_X\)，最后求导。
- 二维 \(Z=X+Y\) (卷积公式)： $$ f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) f_Y(z-x) dx $$
- 最大值最小值（独立同分布）：
- \(Y = \max(X_1...X_n) \Rightarrow F_Y(y) = [F_X(y)]^n\)
- \(Y = \min(X_1...X_n) \Rightarrow F_Y(y) = 1 - [1-F_X(y)]^n\)
2. 真题实战¶
【真题 5.6】(24-25 秋冬, 9-3)
题目：已知 \(f(x,y)=12y^{-5}, 1<x<y\)。求 \(Z=X+Y\) 的密度 \(f_Z(z)\)。
解法：分布函数法（比直接背卷积公式更稳，因为区域复杂）。 1. 确定范围：\(x>1, y>x \Rightarrow Z=X+Y > 2\)。所以 \(z \le 2\) 时 \(f_Z(z)=0\)。 2. 分布函数：\(F_Z(z) = P(X+Y \le z)\)。 画图：区域由 \(x=1, y=x, x+y=z\) 围成。 积分限：\(x\) 从 \(1\) 到 \(z/2\)，\(y\) 从 \(x\) 到 \(z-x\)。 $$ F_Z(z) = \int_{1}^{z/2} dx \int_{x}^{z-x} 12y^{-5} dy $$ 3. 求导：算出积分结果后对 \(z\) 求导即可得到 \(f_Z(z)\)。
第六章：极限定理¶
核心口诀：依概率收敛看大数定律（样本均值趋向总体均值），分布近似看中心极限定理（CLT）。
1. 必背公式¶
- 辛钦大数定律：\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \xrightarrow{P} E(X)\)。
- 应用：看到 \(\frac{1}{n}\sum X_i\) 或 \(\frac{1}{n}\sum X_i^2\)，直接替换为 \(E(X)\) 或 \(E(X^2)\)。
- 中心极限定理 (CLT)： 当 \(n\) 很大时，样本和 \(\sum X_i\) 近似服从 \(N(n\mu, n\sigma^2)\)。 样本均值 \(\bar{X}\) 近似服从 \(N(\mu, \sigma^2/n)\)。
2. 真题实战¶
【真题 6.6】(24-25 春夏, 10)
题目：飞机200个座位，乘客不来概率0.1（即来概率0.9）。问最多卖多少票(\(n\))，能保证95%概率大家都有座？
解法： * 设实际来的人数 \(X \sim B(n, 0.9)\)。 * 正态近似：\(E(X)=0.9n, Var(X)=0.09n\)。\(X \approx N(0.9n, 0.09n)\)。 * 列式：\(P(X \le 200) \ge 0.95\)。 * 标准化： $$ P\left(\frac{X - 0.9n}{\sqrt{0.09n}} \le \frac{200 - 0.9n}{0.3\sqrt{n}}\right) \ge 0.95 = \Phi(1.645) $$ * 解不等式：\(\frac{200 - 0.9n}{0.3\sqrt{n}} \ge 1.645\)，解出 \(n \approx 214\)。
（请继续查看下一条回答，我们将进入你最关心的“统计推断”部分，完全以枢轴量法展开）