第二部分：统计推断体系（Ch7 Ch9）

这一部分是你的重中之重。正如你所说，“枢轴量” (Pivot Quantity) 是贯穿这三章的唯一灵魂。

只要你能写出枢轴量，抽样分布（求概率）、区间估计（求范围）、假设检验（求拒绝域） 其实是同一个公式的三种不同写法。

第七章：统计量与抽样分布（准备工作）¶

这一章的任务是**认识枢轴量的零件**。你不需要去证明它们，只需要死记硬背它们的**构造形式**。

1. 三大分布的构造（【背诵】形状）¶

• \(\chi^2\) 分布：\(n\) 个标准正态的平方和。
  • 形式：\(\sum Z_i^2 \sim \chi^2(n)\)
  • 期望：\(n\)，方差：\(2n\)。
• \(t\) 分布：正态除以 \(\sqrt{卡方除以自由度}\)。
  • 形式：\(\frac{X}{\sqrt{Y/n}} \sim t(n)\)，其中 \(X \sim N(0,1), Y \sim \chi^2(n)\)。
  • 关键特征：\(t\) 分布是“样本均值”和“样本方差”混合的产物。
• \(F\) 分布：两个卡方除以各自自由度之比。
  • 形式：\(\frac{U/n_1}{V/n_2} \sim F(n_1, n_2)\)。
  • 性质：\(F_{1-\alpha}(n_1, n_2) = \frac{1}{F_{\alpha}(n_2, n_1)}\) （查表用）。

2. 正态总体的“费雪定理”（【背诵】枢轴量的来源）¶

设总体 \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)，样本为 \(X_1...X_n\)，则： 1. 样本均值：\(\bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})\) \(\Rightarrow\) 标准化后 \(Z = \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)\) 2. 样本方差：\(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)\) 3. 独立性：\(\bar{X}\) 与 \(S^2\) 相互独立（这是构造 \(t\) 分布的基础）。

3. 真题实战¶

【真题 7.6】(23-24 春夏, 4)

题目：设 \(X_i\) 来自 \(N(\mu, \sigma^2)\)。问 \((\frac{X_1+X_2-X_3-\mu}{X_2+X_3-X_4-\mu})^2\) 服从什么分布？

解法：“凑”定义。 * 分子、分母都是正态变量的线性组合，还是正态。 * \(U = X_1+X_2-X_3-\mu \sim N(0, 3\sigma^2)\)。 * \(V = X_2+X_3-X_4-\mu \sim N(0, 3\sigma^2)\)。 * 标准化：\(\frac{U}{\sqrt{3}\sigma} \sim N(0,1)\)。 * 原式平方 \(= \frac{U^2}{V^2} = \frac{(U/\sqrt{3}\sigma)^2}{(V/\sqrt{3}\sigma)^2}\)。 * 这是两个标准正态平方之比 \(\Rightarrow \frac{\chi^2(1)}{\chi^2(1)} = \frac{\chi^2(1)/1}{\chi^2(1)/1} \sim F(1,1)\)。

第八章：点估计（计算大题前奏）¶

这章不涉及枢轴量，纯计算。

1. 矩估计 (MME)¶

• 方法：用样本的一阶矩（均值）等于总体一阶矩（期望）。
• 公式：令 \(\bar{X} = E(X)\)，解出参数 \(\theta\)。
  • 如果有两个参数，再加一个方程：\(\frac{1}{n}\sum X_i^2 = E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2\)。

2. 极大似然估计 (MLE) —— 必考¶

• 步骤（死步骤）：
  1. 写似然函数：\(L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i; \theta)\)。
  2. 取对数：\(\ln L(\theta) = \sum \ln f(x_i; \theta)\)。
  3. 求导置0：\(\frac{d \ln L}{d \theta} = 0\)，解出 \(\hat{\theta}\)。
• 难点：如果是均匀分布 \(U(0, \theta)\)，密度函数不是连续可导的。
  • \(L(\theta) = \frac{1}{\theta^n}\)，条件是所有 \(x_i \le \theta\)。
  • 要使 \(1/\theta^n\) 最大，\(\theta\) 必须尽可能小，但必须大于所有样本。
  • 结果：\(\hat{\theta}_{MLE} = \max(X_1, ..., X_n)\)。

3. 估计量评价¶

• 无偏性：计算 \(E(\hat{\theta})\)，看是否等于 \(\theta\)。
• 相合性：当 \(n \to \infty\) 时，\(\hat{\theta}\) 是否依概率收敛于 \(\theta\)（通常看方差是否趋于0）。

第九章：区间估计与假设检验（以枢轴量为纲）¶

必杀技：记住下面 4个表格中的枢轴量，你就通关了。 逻辑： * 区间估计：\(P(-k < \text{枢轴量} < k) = 1-\alpha\)，反解出参数范围。 * 假设检验：计算枢轴量的值，看它是否落在拒绝域（尾巴）里。

场景一：单个正态总体 \(N(\mu, \sigma^2)\)，测均值 \(\mu\)¶

【真题 9.1】(24-25 春夏, 6)

题目：\(n=10, \bar{X}=5, \sum X^2=300\)。\(\sigma\) 未知，求 \(\mu\) 的下限。

解法： 1. 算 \(S^2\)：\(S^2 = \frac{1}{9}(300 - 10 \times 5^2) = \frac{50}{9}\)。 2. 选枢轴量：\(\sigma\) 未知，用 \(T = \frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\)。 3. 求下限：\(\mu > \bar{X} - t_\alpha(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}}\)。

场景二：单个正态总体 \(N(\mu, \sigma^2)\)，测方差 \(\sigma^2\)¶

• 注意：\(\chi^2\) 分布不对称，置信区间不对称。求下限用 \(\chi^2_{1-\alpha}\)（大的分位点），求上限用 \(\chi^2_{\alpha}\)（小的分位点），因为 \(\sigma^2\) 在分母上，翻上来会变号。

【真题 9.4】(22-23 秋冬, 9)

题目：\(n=16, S^2=36\)。检验 \(H_0: \sigma^2 = 84\)。

解法： 1. 枢轴量：\(\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} = \frac{15 \times 36}{84} \approx 6.429\)。 2. 临界值：查 \(\chi^2_{0.025}(15) \approx 27.5, \chi^2_{0.975}(15) \approx 6.26\)。 3. 判断：\(6.26 < 6.429 < 27.5\)，统计量在中间（接受域），不拒绝。

场景三：两个正态总体，比较均值 \(\mu_1 - \mu_2\)¶

• 合并方差 \(S_w^2\)：\(S_w^2 = \frac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}\) （就是两个样本方差的加权平均）。

【真题 9.6】(24-25 春夏, 12)

题目：两组数据 \(S_1^2, S_2^2\)。先检验方差齐性，再求均值差的区间。

解法： 1. 检验方差：用 \(F\) 检验（见场景四）。 2. 求均值差区间：确认方差相等后，计算 \(S_w\)，构造 \(T\) 枢轴量。 区间 \(= (\bar{X}-\bar{Y}) \pm t_{\alpha/2}(df) \cdot S_w \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}\)。

场景四：两个正态总体，比较方差 \(\sigma_1^2 / \sigma_2^2\)¶

• 检验 \(H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2\)：
  • 统计量 \(F = S_1^2 / S_2^2\)。
  • 如果 \(F > F_{\alpha/2}\) 或 \(F < F_{1-\alpha/2}\)，则拒绝（即两个方差差别太大）。

考试最后提醒¶

1. P值怎么算？
   • \(P\_value = P(|T| > |t_{算}|)\)。
   • 也就是：在 \(t\) 分布图上，你算出来的统计量外面的**尾巴面积**。单侧检验算一边，双侧检验乘2。
2. 单侧还是双侧？
   • 题目问“是否相等”、“是否有差异” \(\to\) 双侧 (\(\alpha/2\))。
   • 题目问“是否大于”、“是否优于” \(\to\) 单侧 (\(\alpha\))。
3. 手算开根号：考试允许带计算器最好，如果不让带，遇到 \(\sqrt{10}\) 这种，保留根号或者近似 \(3.16\) 即可。

把这四个场景的表格记在纸上，考试前看最后一遍，统计推断的大题就是**完形填空**。祝你满分！